Matematica - La inaltimea cerintelor tale
matefix.ro
 

căutare avansată »


Data ultimei accesari : 00-00-0000
Click  aici pentru semnalarea unei erori sau observaţii la aceasta lecţie !
Click  aici pentru marcarea parcurgerii acestei lectii !
Data ultimei actualizari : --
cls. a 8-a
din 20 mart 2010

Geometrie în spațiu (4)

Paralelism

Cuprins, prin link-uri

  1. Dreapte paralele, axioma lui Euclid
  2. Dreaptă paralelă cu un plan
  3. Plane paralele
  4. Test
  1. Dreapte paralele

    1. Drepte paralele

      Definiție
      Două drepte a și b sunt paralele dacă sunt coplanare și nu au niciun punct comun.

      Observație
      - coplanare
      adică într-un același plan
      - nu au niciun punct comun sau altfel spus sunt disjuncte sau nu se intersectează


      Dacă dreptele a și b sunt paralele , notăm acest fapt cu a || b .

      a || b se citește a paralelă cu b.

    2. Exemple

      ### 52 ung in paralelip dr ###



      AB || CD








      Alt exemplu
      ### TV ###
      Marginile de sus și cele de jos sunt segmente paralele pe drepte paralele.

    3. Axioma lui Euclid

      Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură paralelă la dreapta dată.

      sau

      Printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la dreapta dată.

    4. Teorema de tranzitivitate a paralelismului dreptelor

      Dacă a este paralelă cu b şi b paralelă cu c, atunci a este paralelă sau identică cu c.
      ### a,b,c paralele ###


      a || b, b || c și a || c.






      Exemplu

      ### 52 ung in paralelip dr ###



      AD || BC și BC || B'C' rezultă că AD || B'C' .






    5. Teorema acoperişului sau a cărţii (desenul seamănă cu o carte deschisă)

      ### teorema cartii ### „Dacă 2 drepte sunt paralele și se află în două plane secante , atunci ele sunt paralele cu muchia celor două plane”
      adică , cu figura din stânga::
      „ Dacă dreptele a şi b sunt paralele, a inclusă în α şi b în β şi α şi β sunt plane secante, atunci a şi b sunt paralele cu muchia c a celor două plane.”


      Exemplu

      Să se arate că
      1) planele (ABD') și (CDD') sunt secante ,
      2)muchia lor este paralelă cu AB și cu CD și
      3) muchia lor este chiar dreapta C'D'.

      ### cub cu 2 pl sec cu muchie ascunsă ###

      Demonstrație

      1) Planele (ABD') și CDD') au punctul D' comun și sunt distincte (pentru că A nu este comun) , deci cu o axiomă rezultă că cele 2 plane sunt secante.

      2) Fie a muchia celor două plane secante. Din teorema acoperișului sau cărții rezultă că a || AB și CD.

      3) Deoarece dreptele C'D' și a sunt paralele cu CD și trec prin același punct D', rezultă cu axioma lui Euclid C'D' = a , deci C'D' este muchia celor 2 plane.
      c.c.t.d.

          Înapoi     


  2. Dreaptă paralelă cu un plan

    1. Definiție

      O dreaptă este paralelă cu un plan dacă nu are niciun punct comun cu planul.


      ### 31DrIIpl ###
      a || α

    2. Teoremă gen Euclid pentru dreaptă și plan

      Printr-un punct exterior unui plan se poate duce o singură paralelă la plan.

    3. Teorema paralelismului dintre o dreaptă şi plan

      3 variante :

      1) Dacă o dreaptă este paralelă cu o dreaptă dintr-un plan ,
      atunci ea este paralelă cu planul sau inclusă în plan.
      2) Dacă o dreaptă este paralelă cu o dreaptă din plan, și are cel puţin un punct comun cu planul , atunci ea este conţinută în acel plan.
      3) Dacă o dreaptă este paralelă cu o dreaptă dintr-un plan și are un punct exterior planului , atunci ea este paralelă cu planul .


      a || b și b ⊂ α, atunci a ||α sau a⊂α


      ### var 3 ###

      ### var 2 ###


      Exercițiu

      Demonstrăm că AD || (BCC')
      ### 52 ung in paralelip dr ###

      Demonstrație:
      1) În cuvinte : Dreapta AD conține punctul A dar planul (BCC') nu conține punctul A deci dreapta AD nu este inclusă în planul (BCC').

      adică
      Din A ∈AD dar A ∉ (BCC') rezultă că AD ⊄ (BCC') (1).

      2) Din AD || BC și BC⊂ (BCC') și (1) adică AD ⊄ (BCC') ⇒ AD || (BCC').

        Înapoi   

  3. Plane paralele

    1. Definiție

      Două plane sunt paralele dacă nu au niciun punct comun.(sau altfel spus dacă nu se intersectează).

    2. ### plane paralele 2 ###
    3. Teorema de tranzitivitate a paralelismului planelor

      Dacă α este paralel cu β şi β paralel cu γ, atunci α este paralel sau identic cu γ.

      ### 3 PLANE PARAL ###

    4. Teorema bețelor chinezești


      3 variante:
      ### paralelismul planelor 2x2 drepte ###Varianta 1 Dacă două drepte concurente dintr-un plan sunt paralele cu două drepte concurente din alt plan, atunci cele două plane sunt paralele.
      Matematic se scrie astfel :
      a,b ⊂ α , a și b concurente ,
      a',b'⊂ β, a' și b' concurente ,
      a || a' și b || b',
      atunci α || β .
      sau varianta 2 - altă formă :
      Dacă 2 drepte concurente incluse într-un plan sunt paralele cu un plan , atunci cele două plane sunt paralele.
      sau varianta 3 ,sub altă formă :
      Dacă două drepte concurente sunt paralele cu alte două drepte concurente , atunci planul primelor două drepte este paralel cu planul ultimelor 2 drepte.

    5. Exemplu

      Demonstrați că planele (AA'D) și (CBB') sunt paralele.

      ### cub 1 def desen ###

      Demonstrație

      Dreptele concurente AA'și BB' din planul (AA'D) sunt paralele cu dreptele concurente BBț și BC din planul (CBB') deci cu teorema bețelor chinezești rezultă că planele (AA'D) și (CBB') sunt paralele.
      c.c.t.d.

          Înapoi     


  4. Test

    1. Prin definiție , două drepte sunt paralele dacă sunt c.... și dacă nu au niciun p.... comun .
    2. Prin definiție , o dreaptă este paralelă cu un plan dacă nu are niciun p.... c.... cu planul.
    3. Prin definiție , două plane sunt paralele dacă nu au n... punct c.... .
    4. Teoremă Dacă o dreaptă este paralelă cu o dreaptă dintr-un plan, atunci ea este p.... cu planul sau i.... în acel plan.
    5. Teoremă Dacă 2 drepte sunt paralele și aflate în două plane s.... , atunci ele sunt pa... cu muchia celor două plane.
    6. a) Dreapta A'D' || dreapta ....
      b) Dreapta AB || dreapta A'B' din planul (A'B'C'), deci AB .... (A'B'C') sau AB ..... (A'B'C') .
      c) (ABC) || planul ...... .
      drepte si plane paralele
      ### 52 ung in paralelip dr ###
    Rezolvare

MODIFICĂRI
2010 2010 mart. 20 , iulie 27,sept.27,oct 7,14,15,26,27,
lecția

g08010Ax14Par1

0

home   |  informaţii utile   |  contact   
Copyright © Vinersan Viorica - Toate drepturile rezervate         Concepere si realizare - Pop Petre Emil